Calculate the limit of the following expression by elementary transformations: lim((sin(sin(x))/x)) if x->0

Um den Grenzwert des Ausdrucks \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{x}\) zu finden, können wir eine Reihe von Vereinfachungen und Eigenschaften trigonometrischer Funktionen und Grenzwerte verwenden. ### Schritt 1: Erkennen Sie das innere Funktionsverhalten Die innere Funktion ist \(\sin x\), die sich 0 nähert, wenn \(x \to 0\). ### Schritt 2: Vereinfachen Sie den Sinus der Sinusfunktion Wir können die Näherung \(\sin x \approx x\) betrachten, wenn \(x\) nahe 0 liegt. Daher gilt \(\sin(\sin x) \approx \sin x\), insbesondere wenn \(x \to 0\). ### Schritt 3: Wenden Sie die Sinusnäherung erneut an Wenn wir erneut die Näherung \(\sin x \approx x\) verwenden, können wir sagen, dass \(\sin(\sin x) \approx \sin x \approx x\), wenn \(x\) sich 0 nähert. ### Schritt 4: Vereinfachen Sie den Ausdruck Mit \(\sin(\sin x) \approx x\) vereinfacht sich der Ausdruck \(\frac{\sin(\sin x)}{x}\) ungefähr zu \(\frac{x}{x} = 1\), wenn \(x \to 0\). ### Schritt 5: Kleine Winkel berücksichtigen Für sehr kleine Winkel ist die Näherung \(\sin x \approx x\) ziemlich genau. Da \(x\) gegen 0 geht, ist \(\sin x\) ebenfalls sehr klein, und daher kann \(\sin(\sin x)\) sehr genau durch \(x\) angenähert werden. ### Abschluss Daher gilt \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x)}{x} = 1\). Diese Schlussfolgerung nutzt die grundlegende Eigenschaft der Sinusfunktion um Null herum und die Tatsache, dass für kleine \(x\) \(\sin x \approx x\) sehr genau gilt. Dies sind elementare Transformationen und Näherungen, die in der Infinitesimalrechnung häufig verwendet werden, um Grenzwerte mit trigonometrischen Funktionen zu ermitteln.