Question

0<x<2π aralığındaki f(x)=x÷2 fonksiyonunun 0 < x < 4π için grafiğini çiziniz ve 0<x<2n için Fourier seri dönüşümünü gerçekleştiriniz.

280

likes
1402 views

Answer to a math question 0<x<2π aralığındaki f(x)=x÷2 fonksiyonunun 0 < x < 4π için grafiğini çiziniz ve 0<x<2n için Fourier seri dönüşümünü gerçekleştiriniz.

Expert avatar
Bud
4.6
96 Answers
Öncelikle, f(x) = x/2 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

0 < x < 2π aralığı için f(x) = x/2 fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi olacaktır:

\begin{align*} \text{Grafiğin üzerindeki noktalar:} \ (0, 0), (\pi/2, \pi/4), (\pi, \pi/2), (3\pi/2, 3\pi/4), (2\pi, \pi) \ \text{Ve bu noktaları birleştiren bir doğru elde edeceğiz.}\end{align*}

Grafiği çizdikten sonra, Fourier serisi dönüşümünü gerçekleştirelim.

Fourier Serisi Dönüşümü için a0, an ve bn katsayılarını bulmamız gerekiyor. Bunları hesaplayalım:

\begin{align*} a0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{1}{2} (2\pi)^2 \right] = \frac{\pi}{2}\end{align*}

\begin{align*} an = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \cos(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{x}{2} \cos(nx) dx\end{align*}

Burada x/2'nin çift veya tek olduğunu kontrol etmeliyiz. Eğer x/2 çift ise, an = 0 olacaktır. Eğer x/2 tek ise, an kısmını hesaplamalıyız:

\begin{align*} an = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{x}{2} \cos(nx) dx = \frac{1}{2\pi} \left[ x \sin(nx) + \frac{1}{n} \cos(nx) \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2n\pi} (0 + \frac{1}{n} - (0 - \frac{1}{n})) = \frac{2}{n^2\pi}\end{align*}

\begin{align*} bn = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \sin(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{x}{2} \sin(nx) dx\end{align*}

Burada x/2'nin çift veya tek olduğunu kontrol etmeliyiz. Eğer x/2 çift ise, bn kısmını hesaplamalıyız:

\begin{align*} bn = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{x}{2} \sin(nx) dx = \frac{1}{2\pi} \left[ - x \cos(nx) + \frac{1}{n} \sin(nx) \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2n\pi} (0 - (\pi\cos(2n\pi) - 0)) = \frac{1}{2n\pi} \pi = \frac{1}{2n}\end{align*}

Bu şekilde Fourier serisi dönüşümünü elde ettik.

Sonuç olarak, 0 < x < 4π aralığı için f(x) = x/2 fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibi olacaktır:

\begin{align*} \text{Grafiğin üzerindeki noktalar:} \ (0, 0), (\pi/2, \pi/4), (\pi, \pi/2), (3\pi/2, 3\pi/4), (2\pi, \pi), (5\pi/2, 5\pi/4), (3\pi, 3\pi/2), (7\pi/2, 7\pi/4), (4\pi, \pi) \ \text{Ve bu noktaları birleştiren bir doğru elde edeceğiz.}\end{align*}

Fourier serisi dönüşümü için:

\begin{align*} f(x) = \frac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^2\pi} \cos(nx) + \frac{1}{2n} \sin(nx)\end{align*}

Yukarıdaki seriyi 0 < x < 2n için gösterdik.

Frequently asked questions (FAQs)
What is the basis of vectors in two-dimensional space?
+
What is the value of f(10) for the logarithmic function f(x) = log x / ln x?
+
What are the key characteristics of a hyperbola given its equation in the standard form? (
+
New questions in Mathematics
How to find the value of x and y which satisfy both equations x-2y=24 and 8x-y=117
Let f(x)=||x|−6|+|15−|x|| . Then f(6)+f(15) is equal to:
𝑦 = ( 𝑥2 − 3) (𝑥3 + 2 𝑥 + 1)
a ferry travels 1/6 of the distance between two ports in 3/7 hour. the ferry travels at a constant rate. at this rate, what fraction of the distance between the two ports can the ferry travel in one hour?
431414-1*(11111-1)-4*(5*3)
-11+29-18
Write 32/25 as a percent
solve the following trigo equation for 0°<= x <= 360°. sec x =-2
2.5 / 21.85
An electrical company manufactures batteries that have a duration that is distributed approximately normally, with a mean of 700 hours and a standard deviation of 40 hours. Find the probability that a randomly selected battery has an average life of less than 810 hours.
2x+4x=
Primes are numbers divisible only by 1 and themselves; There are infinitely many prime numbers and the first ones are 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, .... Consider a 12-sided die, with the faces numbered from 1 to 12. Out of 4 rolls, the probability that only the first three numbers are primes is:
Raúl, Gilberto and Arturo are playing golf; The probabilities of winning for each one are as follows: (Raúl wins) = 20% (Gilberto wins) = 0.05% (Arturo wins) = ¾%. Perform operations and order events from least to most probable.
A machine produces 255 bolts in 24 minutes. At the same rate, how many bolts would be produced in 40 minutes?
prove that for sets SS, AA, BB, and CC, where AA, BB, and CC are subsets of SS, the following equality holds: (A−B)−C=(A−C)−(B−C)
Write the inequality in the form of a<x<b. |x| < c^2
8. Measurement Jillian measured the distance around a small fish pond to be 27 yards. What would be a good estimate of the distance across the pond: 14 yards, 9 yards, or 7 yards? Explain how you decided.
4m - 3t + 7 = 16
6(k-7) -2=5
To apply a diagnostic test, in how many ways can 14 students be chosen out of 25? if the order does not matter