Pour montrer que les lignes perpendiculaires tracĂ©es depuis les sommets dâun carrĂ© vers les cĂŽtĂ©s opposĂ©s sont concourantes en un point Ă lâintĂ©rieur du carrĂ©, nous pouvons utiliser la rotation gĂ©omĂ©trique.
Considérons un carré ABCD contenant un point P. Nous montrerons que les droites perpendiculaires tracées respectivement de A, B, C et D vers BP, CP, DP et AP se coupent en un seul point.
1. Dessinez le segment de droite AP et construisez une ligne perpendiculaire de A Ă BP. Appelons X l'intersection de cette ligne perpendiculaire et de BP.
2. Effectuons maintenant une rotation du carré de 90 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre autour du point A. Cette rotation mappe le point B au point C, le point C au point D et le point D au point P. Le segment de droite BP est mappé au segment de droite. CP.
3. AprĂšs la rotation, la droite perpendiculaire de C Ă CP coĂŻncide avec la droite perpendiculaire dâorigine de B Ă BP. Par consĂ©quent, le carrĂ© pivotĂ© ABCD a la mĂȘme propriĂ©tĂ©Â : les droites perpendiculaires allant de B, C et D Ă CP, DP et AP, respectivement, se coupent Ă©galement au point X.
4. RĂ©pĂ©tez le processus pour les sommets restants du carrĂ©. Effectuez successivement des rotations de 90 degrĂ©s dans le sens des aiguilles dâune montre autour des points B, C et D. Chaque rotation mappe le carrĂ© sur lui-mĂȘme et prĂ©serve la propriĂ©tĂ© des lignes perpendiculaires concurrentes. Par consĂ©quent, les lignes perpendiculaires allant de A, B, C et D Ă BP, CP, DP et AP, respectivement, se coupent toutes au point X, qui est le point d'intersection de toutes les lignes perpendiculaires pivotĂ©es.
Ainsi, nous avons montrĂ© que les lignes perpendiculaires tracĂ©es depuis les sommets A, B, C et D du carrĂ© jusquâaux cĂŽtĂ©s opposĂ©s BP, CP, DP et AP, respectivement, sont concourantes en un point Ă lâintĂ©rieur du carrĂ©.