Derive the functions: f(x)= (3x^1/2 + 7x)^4/5

1. Identificar que la función se puede derivar usando la regla de la cadena. Tenemos una función interna $u(x) = 3x^{1/2} + 7x$ y una función externa $v(u) = u^{4/5}$.

2. Derivar la función externa respecto a su argumento $u$:

v'(u) = \frac{4}{5}u^{-1/5}

3. Derivar la función interna respecto a $x$:

u'(x) = \frac{3}{2}x^{-1/2} + 7

4. Aplicar la regla de la cadena: $f'(x) = v'(u(x)) \cdot u'(x)$.

Entonces,

f'(x) = \frac{4}{5} \left(3x^{1/2} + 7x\right)^{-1/5} \left(\frac{3}{2}x^{-1/2} + 7\right)

5. Como resultado, la derivada de la función es:

f'(x) = \frac{4}{5} \left(3x^{1/2} + 7x\right)^{-1/5} \left(\frac{3}{2}x^{-1/2} + 7\right)