Question
y′ = 2x + 3y x′ = 7x − 4y x(0) = 2 y(0) = −1 sisteminin ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz. (Lineer Denk. Sis.)
139
likes697 views
Answer to a math question y′ = 2x + 3y x′ = 7x − 4y x(0) = 2 y(0) = −1 sisteminin ¸c¨oz¨um¨un¨u bulunuz. (Lineer Denk. Sis.)
Hermann
4.6126 Answers
نظرا لنظام المعادلات الخطية:
ص′ = 2س + 3ص
س′ = 7س – 4ص
يمكننا استخدام طريقة المعادلات التفاضلية لإيجاد حل نظام المعادلات هذا.
كخطوة أولى، دعونا نجد الصورة المتجانسة للمعادلات:
ص' - 3ص = 2س
س' - 7س = -4ص
يمكن كتابة هذا النظام من المعادلات المتجانسة على شكل مصفوفة تمثل المعادلات المذكورة أعلاه على النحو التالي:
[d/dt [x(t)] ] [ -7 4 ] [ x(t) ] [0]
[d/dt [y(t)] ] = [ -2 3 ] [ y(t) ] + [0]
معادلة المصفوفة هذه عبارة عن نظام من المعادلات الخطية المتجانسة من الدرجة الأولى التي تحتوي على المتجه [x(t), y(t)]. يمكن الحصول على حل معادلة المصفوفة هذه باستخدام القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.
لحساب القيم الذاتية، يتم حل المعادلة المميزة للمصفوفة:
ديت (أ - μI) = 0
هنا A هي المصفوفة التي تحتوي على معاملات المصفوفة، و lect هي رمز القيم الذاتية، و I هي مصفوفة الهوية.
المعادلة المميزة للمصفوفة هي:
ديت ([-7-4 4]
[-2 3-]) = 0
عندما نحل هذه المعادلة نجد قيمتين مختلفتين:
₁ = 1
₂ = -3
لكل قيمة ذاتية، يمكننا حساب المتجهات الذاتية. لهذا، يتم حل المعادلة (A - αI) * v = 0، حيث v هو المتجه الذاتي.
من أجل ς₁ = 1، (A - ς₁I) * v₁ = 0
[-8 4] [v₁₁] = [0]
[-2 2] [v₁₂] = [0]
عندما نحل هذه المعادلة، نحصل على المتجه الذاتي v₁ = [1، 2].
بالنسبة إلى ς₂ = -3، (A - ς₂I) * v₂ = 0
[4 4] [v₂₁] = [0]
[-2 -6] [v₂₂] = [0]
عندما نحل هذه المعادلة، نحصل على المتجه الذاتي v₂ = [-2، 1].
في الخطوة الأخيرة، نستخدم المتجهات الذاتية للحصول على الحل العام:
[x(t)] [1 * e^χ₁t -2 * e₁₂t] [C₁]
[y(t)] = [2 * e^lect₁t 1 * e^lect₂t] [C₂]
هنا C₁ وC₂ ثوابت تمثل الظروف الأولية في الوقت t = 0.
نظرًا لأن الشروط الأولية معطاة كـ x(0) = 2 و y(0) = -1، فيمكننا إيجاد قيم C₁ وC₂:
[x(0)] [1 -2] [C₁] [2]
[y(0)] = [2 1] [C₂] = [-1]
عندما نحل هذه المعادلة، نحصل على C₁ = 0 وC₂ = -1.
أخيرًا، باستبدال القيمتين C₁ وC₂ في الحل العام، نحصل على الحل:
[x(t)] [1 * e^t -2 * e^(-3t)] [0] [e^t - 2 * e^(-3t)]
[y(t)] = [2 * e^t 1 * e^(-3t)] [-1] = [2e^t - e^(-3t) - 1]
وبهذه الطريقة، نحصل على حل نظام المعادلات الخطية المحدد.
Frequently asked questions (FAQs)
What is the derivative of f(x) = sin(3x^2 + 2x) + e^(2x) using the Chain Rule?
+
How can the measure of each interior angle in an equilateral triangle be found?
+
Math Question: Find the x-intercept of the reciprocal function f(x) = 1/x. Answer: The x-intercept is the value of x where f(x) equals zero. For f(x) = 1/x, setting f(x) = 0 leads to 1/x = 0. However, this equation has no solution since we cannot divide by zero. Therefore, the reciprocal function has no x-intercept.
+
New questions in Mathematics