. Calculate the equations of the tangent lines drawn from the point P(-2,7) to the circumference x2 + y2 + 2x -8y +12 = 0. Graphically represent the respective equations.

Primero, vamos a encontrar la ecuación de la circunferencia dada:

La ecuación de la circunferencia es de la forma x^2 + y^2 + 2x - 8y + 12 = 0 .

Completamos el cuadrado para escribir la ecuación de la circunferencia en su forma estándar:

x^2 + 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = 5

(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 5

Entonces, el centro de la circunferencia es C(-1, 4) y su radio es r = \sqrt{5} .

Para encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes desde el punto P(-2,7) a la circunferencia, primero encontraremos el punto de tangencia en la circunferencia, que se encuentra en la recta que une el centro de la circunferencia con el punto P(-2,7) .

La pendiente de la recta que une el centro de la circunferencia con el punto P(-2,7) es:

m = \frac{7 - 4}{-2 + 1} = \frac{3}{-1} = -3

El punto medo entre el centro de la circunferencia y el punto P(-2,7) está dado por:

M\left(\frac{-1-2}{2}, \frac{4+7}{2}\right) = M(-\frac{3}{2}, \frac{11}{2})

Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-2,7) y M(-\frac{3}{2},\frac{11}{2}) para encontrar el punto de tangencia en la circunferencia:

La ecuación de la recta es:

y - 7 = -3(x + 2)

y = -3x -6 +7

y = -3x +1

Reemplazamos la ecuación de la recta en la ecuación de la circunferencia para encontrar el punto de tangencia:

(-1)^2 + (1)^2 + 2*(-1) -8*1 +12 = 0

1 + 1 - 2 - 8 + 12 = 0

2 + 6 = 0

Esto es falso, por lo tanto, no existe punto de tangencia entre la recta y la circunferencia. Por lo tanto, las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto P(-2,7) a la circunferencia x^2 + y^2 + 2x -8y +12 = 0 no existen.

\textbf{Respuesta:} No hay rectas tangentes trazadas desde el punto P(-2,7) a la circunferencia x^2 + y^2 + 2x -8y +12 = 0 .