a) Legyen x a valós szám. A reciprokának az adott számnak szoktuk az x^{-1} jelölést használni. A feltétel alapján tudjuk, hogy
x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}.
Az a) részfeladatban azt kell meghatároznunk, hogy x^2 + \left( \frac{1}{x} \right)^2 . Ennek a kifejezésnek a kiszámításához először nézzük meg, hogy mi történik, ha négyzetre emeljük a fenti egyenletet:
(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 5.
Innen már könnyen meghatározható az x^2 + \left( \frac{1}{x} \right)^2 értéke:
x^2 + \left( \frac{1}{x} \right)^2 = 5 - 2 = 3.
b) Az adott feltétel alapján tudjuk, hogy
x^3 + \frac{1}{x^3} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 - 3 \left( x + \frac{1}{x} \right) = \sqrt{5}^3 - 3 \cdot \sqrt{5} = 5 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}.
Tehát a kért szám az x^3 + \left( \frac{1}{x} \right)^3 kifejezés értéke 2 \sqrt{5} .
**Válasz:**
a) x^2 + \left( \frac{1}{x} \right)^2 = 3
b) x^3 + \left( \frac{1}{x} \right)^3 = 2 \sqrt{5}