Para determinar as derivadas parciais da função š(š„,š¦)=2š„š¦ā5š„^3š¦^2+5š„+7š¦ em relação a š„ e š¦, podemos calcular as derivadas parciais de cada termo em relação a cada variĆ”vel e entĆ£o somĆ”-las.
1. Derivada parcial em relação a š„:
\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = \frac{{\partial (2xy)}}{{\partial x}} - \frac{{\partial (5x^3y^2)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial (5x)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial (7y)}}{{\partial x}}
\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = 2y - 15x^2y^2 + 5
2. Derivada parcial em relação a š¦:
\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = \frac{{\partial (2xy)}}{{\partial y}} - \frac{{\partial (5x^3y^2)}}{{\partial y}} + \frac{{\partial (5x)}}{{\partial y}} + \frac{{\partial (7y)}}{{\partial y}}
\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = 2x - 10x^3y + 7
Agora, para encontrar os valores no ponto (2,3), substituĆmos š„=2 e š¦=3:
\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\Big|_{(2,3)}=2(3)-15(2)^2(3)^2+5=-529
\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\Big|_{(2,3)}=2(2)-10(2)^3(3)+7=-229
Portanto, as derivadas parciais da função š(š„,š¦) em relação a š„ e š¦ no ponto (2,3) sĆ£o -169 e -469, respectivamente.
\textbf{Resposta:}\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\Big|_{(2,3)}=-529\quad\text{e}\quad\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\Big|_{(2,3)}=-229