Para resolver este problema, siga os passos abaixo:
1. Identifique as coordenadas do centro e do foco da elipse. O centro é \((1, 4)\) e o foco é \((5, 4)\).
2. Determine a distância do centro ao foco, que é \(c\). A distância entre \((1, 4)\) e \((5, 4)\) é:
c = \sqrt{(5 - 1)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{4^2} = 4
3. Use a excentricidade para encontrar \(a\), que é o semi-eixo maior. A excentricidade é dada por:
e = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}
Logo, temos:
a = \frac{c}{e} = \frac{4}{\frac{2}{3}} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6
4. Encontre \(b\), o semi-eixo menor, usando a relação \(c^2 = a^2 - b^2\). Substituindo os valores conhecidos:
4^2 = 6^2 - b^2
16 = 36 - b^2
b^2 = 36 - 16
b^2 = 20
b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
5. A equação padrão de uma elipse centrada em \( (h, k) \) com semi-eixo maior \(a\) e semi-eixo menor \(b\) é:
\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1
Substituindo os valores encontrados:
\frac{(x-1)^2}{6^2} + \frac{(y-4)^2}{(\sqrt{20})^2} = 1
\frac{(x-1)^2}{36} + \frac{(y-4)^2}{20} = 1
Assim, a equação é:
\frac{(x-1)^2}{36}+\frac{(y-4)^2}{20}=1
Portanto, a resposta é:
\frac{(x-1)^2}{36}+\frac{(y-4)^2}{20}=1