Determine the vertex and the domain and range of the function 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 𝑋2

Primero, reescribimos la función en su forma estándar:
f(x) = -x^2 + 4x

Para encontrar el vértice de una parábola de la forma ax^2 + bx + c, usamos las fórmulas:

1. La coordenada x del vértice es x = -\frac{b}{2a}.

En nuestro caso:
a = -1, b = 4.

Entonces:
x = -\frac{4}{2(-1)} = 2

2. Para encontrar la coordenada y del vértice, sustituimos x en la función:
y = f(2) = -2^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4

Entonces, el vértice es:
\left(2, 4\right)

El dominio de una función cuadrática ax^2 + bx + c siempre es:
(-\infty, \infty)

Para encontrar el recorrido, observamos el coeficiente principal a. Si a < 0, la parábola abre hacia abajo, con un máximo en el vértice.

Dado que a = -1 en nuestro caso, el recorrido es:
[4, \infty)

Respuesta:
El vértice de la función es \left(2,4\right).
El dominio es (-\infty, \infty).
El recorrido es [4, \infty).