Given the circumference C: x^2 + y^2 − 2x + 6y + 1 = 0. (a) Determine k ∈ R so that the point Q(k, k−1) belongs to the given circle.

1. Sustituimos el punto \(Q(k, k-1)\) en la ecuación de la circunferencia:

k^2 + (k-1)^2 - 2k + 6(k-1) + 1 = 0

2. Expandimos y simplificamos:

k^2 + k^2 - 2k + 1 - 2k + 6k - 6 + 1 = 0

2k^2+2k-4=0

3. Sumamos todas las constantes y simplificamos:

2k^2+2k-4=0

4. Dividimos entre 2:

k^2+k-2=0

5. Resolvemos la ecuación cuadrática con la fórmula general \(k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):

k=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}

k=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}

k=\frac{-1\pm3}{2}

k=-2,1