In R5, consider the set of vectors C = {(1,-3,0,4,1), (-3,-4,1,2,1), (4,1,-1,2,0), (0,5,1,0,2), (3,-1,2,0,4)} and determine the dimension and a basis for the generated vector of C.

1. Coloque os vetores como linhas de uma matriz:
\begin{bmatrix} 1 & -3 & 0 & 4 & 1 \\ -3 & -4 & 1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 2 & 0 & 4 \end{bmatrix}

2. Realize operações de linha para reduzir a matriz à forma escalonada. Depois, identifique quais linhas são linearmente independentes.

3. Após a redução, a forma escalonada da matriz permitirá identificar as linhas que formam uma base. Muitas vezes, basta identificar os pivôs para selecionar a base.

4. Neste caso, a forma escalonada mostra que há $4$ linhas linearmente independentes, portanto a dimensão do espaço gerado é $4$.

5. Por exemplo, podemos escolher os vetores $(1,-3,0,4,1)$, $(-3,-4,1,2,1)$, $(0,5,1,0,2)$ e $(3,-1,2,0,4)$ como uma base para o subespaço.

A base para o gerado do conjunto $C$ é $\{ (1,-3,0,4,1), (-3,-4,1,2,1), (0,5,1,0,2), (3,-1,2,0,4) \}$ e a dimensão é $4$.