Typically, one in six detergent packages is not properly packaged. In a sample, 10 pieces are randomly checked. How big is the Probability that (a) none, (b) more than 5 of the checked packages are not properly packaged?

Wir können dieses Problem mithilfe der Binomialverteilung lösen. Die Formel für die Binomialverteilung ist gegeben durch:

P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

wobei:
- n die Anzahl der Versuche ist,
- k die Anzahl der Erfolge ist,
- p die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges ist.

In diesem Fall ist n = 10 (Anzahl der überprüften Verpackungen) und p = \frac{1}{6} (Wahrscheinlichkeit, dass eine Verpackung nicht ordnungsgemäß verpackt ist).

(a) Die Wahrscheinlichkeit, dass keine der überprüften Verpackungen nicht ordnungsgemäß verpackt sind ist gegeben durch:

P(X = 0) = \binom{10}{0} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{10-0}

P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{10}

P(X = 0) = \left(\frac{5}{6}\right)^{10} \approx 0.1615