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1) demonstrate that the bisector of an isosceles triangle is equal to the perpendicular bisector and the height

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Answer to a math question 1) demonstrate that the bisector of an isosceles triangle is equal to the perpendicular bisector and the height

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Dexter

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Para demonstrar que a bissetriz de um triângulo isósceles é igual à bissetriz perpendicular e à altura, podemos seguir estes passos: ### Considere um triângulo isósceles Seja o triângulo $ ABC $ um triângulo isósceles onde $ AB = AC $ e $ BC $ é a base. Seja $ D $ o ponto médio de $ BC $, e seja $ AD $ o segmento de reta do vértice $ A $ ao ponto $ D $. ### Propriedades do Triângulo Isósceles 1. **Bissetor**: O segmento $ AD $ é a bissetriz do ângulo $ \ângulo BAC $. 2. **Mediatriz Perpendicular**: Como $ D $ é o ponto médio de $ BC $, o segmento de reta $ AD $ também é a mediatriz perpendicular de $ BC $. 3. **Altura**: O segmento de reta $ AD $ é a altura do triângulo $ ABC $ do vértice $ A $ à base $ BC $. ### Prova 1. **Mostre que $ AD $ é a Bissetriz**: - Como $ AB = AC $, pelas propriedades dos triângulos isósceles, a bissetriz do ângulo $ AD $ divide $ \ângulo BAC $ em dois ângulos iguais: \[ \ângulo RUIM = \ângulo CAD \] 2. **Mostre que $ AD $ é a Bissetriz Perpendicular**: - Por definição, a mediatriz de um segmento é uma reta que divide o segmento em dois comprimentos iguais e é perpendicular a ele. - Como $ D $ é o ponto médio de $ BC $, temos: \[ BD = CC \] - Para mostrar que $ AD $ é perpendicular a $ BC $, podemos usar o fato de que: \[ \triângulo ABD \cong \triângulo ACD \quad \texto{(por SSS: $ AB = AC $, $ BD = DC $, e $ AD = AD $)} \] - Esta congruência implica que: \[ \ângulo ABD = \ângulo ACD = 90^\circ \] - Assim, $ AD $ é perpendicular a $ BC $. 3. **Mostre que $ AD $ é a Altura**: - A altura de um triângulo é definida como um segmento de reta perpendicular de um vértice à reta que contém o lado oposto. - Como $ AD $ é perpendicular a $ BC $, ele serve como altura do vértice $ A $ até a base $ BC $. ### Conclusão A partir dos passos acima, concluímos que em um triângulo isósceles $ ABC $: - A bissetriz $ AD $ do ângulo $ A $ é igual à bissetriz perpendicular de $ BC $. - O segmento $ AD $ também atua como a altura do vértice $ A $ à base $ BC $. Assim, a bissetriz, a bissetriz perpendicular e a altura são todos o mesmo segmento de reta $ AD $.

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