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f(x,y)=3x2−4y2 . Find the directional derivative at the point (1,−1) in the direction of the vector u=(3,4)

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**

1. **Normalización de\mathbf{u} **:

El vector\mathbf{u} = (3,4) se normaliza de la siguiente forma:

\|\mathbf{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Entonces, el vector unitario es:

\mathbf{\hat{u}} = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right)

2. **Cálculo del gradiente\nabla f **:

- Derivada parcial respecto ax :

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 - 4y^2) = 6x

- Derivada parcial respecto ay :

\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 - 4y^2) = -8y

Entonces,

\nabla f(x, y) = (6x, -8y)

3. **Evaluación del gradiente en el punto(1, -1) **:

\nabla f(1, -1) = (6 \cdot 1, -8 \cdot (-1)) = (6, 8)

4. **Cálculo de la derivada direccional**:

La derivada direccional en la dirección de\mathbf{\hat{u}} es el producto escalar:

D_{\mathbf{\hat{u}}}f(1, -1) = \nabla f(1, -1) \cdot \mathbf{\hat{u}} = (6, 8) \cdot \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right)

= 6 \cdot \frac{3}{5} + 8 \cdot \frac{4}{5}

= \frac{18}{5} + \frac{32}{5}

= \frac{50}{5} = 10

La derivada direccional es10 .

1. **Normalización de

El vector

Entonces, el vector unitario es:

2. **Cálculo del gradiente

- Derivada parcial respecto a

- Derivada parcial respecto a

Entonces,

3. **Evaluación del gradiente en el punto

4. **Cálculo de la derivada direccional**:

La derivada direccional en la dirección de

La derivada direccional es

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