A self-employed worker's monthly income for the past six months was fit to the function 𝑖(𝑡) = 5 + 10𝑡0.5 − 0.1𝑡 + 0.5𝑡−0.25, while his expenses were fit to 𝑔(𝑡) = 4𝑡0. 5 + 0.2𝑡 + 2. What is the mathematical expression that allows you to express your net savings, if these correspond to income - expenses? What has been the savings you have achieved in the last two months?

Para encontrar la expresión matemática que nos permite expresar los ahorros netos, primero necesitamos restar los gastos a los ingresos.

Ingresos mensuales: i(t) = 5 + 10t^{0.5} - 0.1t + 0.5t^{-0.25}

Gastos mensuales: g(t) = 4t^{0.5} + 0.2t + 2

Por lo tanto, los ahorros netos se calculan restando los gastos a los ingresos:

a(t) = i(t) - g(t) = (5 + 10t^{0.5} - 0.1t + 0.5t^{-0.25}) - (4t^{0.5} + 0.2t + 2)

Simplificando la expresión de ahorros netos:

a(t) = 5 + 10t^{0.5} - 0.1t + 0.5t^{-0.25} - 4t^{0.5} - 0.2t - 2

a(t) = 10t^{0.5} - 4t^{0.5} - 0.1t - 0.2t + 0.5t^{-0.25} - 2 + 5

a(t) = 6t^{0.5} - 0.3t + 0.5t^{-0.25} + 3

Por lo tanto, la expresión matemática que permite expresar los ahorros netos es: a(t) = 6t^{0.5} - 0.3t + 0.5t^{-0.25} + 3.

Para encontrar el ahorro de los últimos dos meses, sustituimos t = 5 y t = 6 en la expresión de ahorros netos y restamos los valores obtenidos:

a(5) = 6(5)^{0.5} - 0.3(5) + 0.5(5)^{-0.25} + 3

a(5) = 6(2.236) - 1.5 + 0.5(2.236)^{-0.25} + 3

a(5) = 13.416 - 1.5 + 0.5(2.236)^{-0.25} + 3

a(5) = 13.416 - 1.5 + 0.5(2.236)^{-0.25} + 3

a(5) ≈ 15.416

a(6) = 6(6)^{0.5} - 0.3(6) + 0.5(6)^{-0.25} + 3

a(6) = 6(2.449) - 1.8 + 0.5(2.449)^{-0.25} + 3

a(6) = 14.694 - 1.8 + 0.5(2.449)^{-0.25} + 3

a(6) = 14.694 - 1.8 + 0.5(2.449)^{-0.25} + 3

a(6) ≈ 16.694

Finalmente, el ahorro en los últimos dos meses es:

15.416 - 16.694 ≈ -1.278

Por lo tanto, el ahorro que ha logrado en los últimos dos meses es aproximadamente -1.278.

\boxed{ -1.278 }