Determine the area of the region bounded by the curves Y= X^2 - X Y= 10 - X^2

Para encontrar el área de la región limitada por las curvas y=x^2-x y y=10-x^2 , primero necesitamos determinar los puntos de intersección de las dos curvas.

Para encontrar los puntos de intersección, igualamos las dos ecuaciones y resolvemos para x :
x^2 - x = 10 - x^2
2x^2 - x - 10 = 0
Resolviendo la ecuación cuadrática para x , obtenemos dos posibles valores de x : x=-2 y x=2.5 .

Para encontrar el área de la región limitada por las dos curvas, calculamos la integral de la diferencia de las dos ecuaciones desde el límite inferior (-2) al superior (2.5):
A = \int_{-2}^{2.5} [(10-x^2) - (x^2-x)] dx
A = \int_{-2}^{2.5} (10 - 2x^2 + x) dx
A = \left[10x - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{2.5}

Calculamos la integral y evaluamos en los límites:
A = \left[10(2.5) - \frac{2(2.5)^3}{3} + \frac{(2.5)^2}{2}\right] - \left[10(-2) - \frac{2(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2}\right]
A = \left[25 - \frac{31.25}{3} + \frac{6.25}{2}\right] - \left[-20 + \frac{16}{3} + 2\right]
A=\frac{243}{8}=30.375



Por lo tanto, el área de la región limitada por las curvas y=x^2-x y y=10-x^2 es 243/8 = 30.375 unidades cuadradas.