Para graficar la función polar r = 2\cos(2\theta), primero necesitamos identificar el rango de \theta que queremos graficar. Dado que el periodo de \cos(2\theta) es \pi, podemos graficar un ciclo completo de la función tomando valores de \theta de 0 a \frac{\pi}{2}.
Para calcular el área de la región R dentro de la curva de la función, podemos usar la fórmula del área para curvas en coordenadas polares:
A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta
Donde r = 2\cos(2\theta) y \alpha = 0, \beta = \frac{\pi}{2}.
Paso 1: Graficar la función polar para \theta en el rango de 0 a \frac{\pi}{2}:
r = 2\cos(2\theta)
Paso 2: Calcular el área de la región R dentro de la curva de la función:
A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2\cos(2\theta))^2 d\theta
A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\cos^2(2\theta) d\theta
Utilizando la identidad trigonométrica \cos^2(2\theta) = \frac{1 + \cos(4\theta)}{2}, tenemos:
A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\left(\frac{1 + \cos(4\theta)}{2}\right) d\theta
A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 + 2\cos(4\theta) d\theta
A = \left[2\theta + \frac{1}{2} \sin(4\theta)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
A = 2\cdot\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(2\pi) - 0 - 0
A = \pi
Entonces, el área de la región R dentro de la curva de la función es \pi.
\boxed{A = \pi}