Question

For the polar functions r = 2Cos 20, and the radial lines, graph and calculate the area of the region R inside the curve of the function

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Fred

4.4

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Para graficar la función polar r = 2\cos(2\theta) , primero necesitamos identificar el rango de \theta que queremos graficar. Dado que el periodo de \cos(2\theta) es \pi , podemos graficar un ciclo completo de la función tomando valores de \theta de 0 a \frac{\pi}{2} .

Para calcular el área de la regiónR dentro de la curva de la función, podemos usar la fórmula del área para curvas en coordenadas polares:

A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta

Donder = 2\cos(2\theta) y \alpha = 0 , \beta = \frac{\pi}{2} .

Paso 1: Graficar la función polar para\theta en el rango de 0 a \frac{\pi}{2} :

r = 2\cos(2\theta)

Paso 2: Calcular el área de la regiónR dentro de la curva de la función:

A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2\cos(2\theta))^2 d\theta

A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\cos^2(2\theta) d\theta

Utilizando la identidad trigonométrica\cos^2(2\theta) = \frac{1 + \cos(4\theta)}{2} , tenemos:

A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\left(\frac{1 + \cos(4\theta)}{2}\right) d\theta

A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 + 2\cos(4\theta) d\theta

A = \left[2\theta + \frac{1}{2} \sin(4\theta)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}

A = 2\cdot\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(2\pi) - 0 - 0

A = \pi

Entonces, el área de la regiónR dentro de la curva de la función es \pi .

\boxed{A = \pi}

Para calcular el área de la región

Donde

Paso 1: Graficar la función polar para

Paso 2: Calcular el área de la región

Utilizando la identidad trigonométrica

Entonces, el área de la región

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