Question
Draw the shape of region D limited by the xy=1 curve, y=x and x=e lines. Calculate the mass of the plate with density σ(x,y)=xy placed on this region.
199
likes995 views
Answer to a math question Draw the shape of region D limited by the xy=1 curve, y=x and x=e lines. Calculate the mass of the plate with density σ(x,y)=xy placed on this region.
Brice
4.8113 Answers
Verilen eğrilerin kesiştiği noktaları bulmak için;
1.y=x xy=1
2.x=e xy=1
Noktaları bulduktan sonra, bu üç doğru arasında kalan bölgenin şeklini çizeceğiz.
1.y=x xy=1
y=x xy=1
x\cdot x = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1
x = 1 y=x y=1
Bu durumda kesişim noktası(1, 1)
2.x=e xy=1
x=e xy=1
e\cdot y = 1
y = \frac{1}{e}
Bu durumda kesişim noktası(e, \frac{1}{e})
Şimdi bu üç noktayı birbirleriyle birleştirerek, verilen bölgenin şeklini çizelim:
-(1, 1) y=x xy=1
-(e, \frac{1}{e}) x=e xy=1
-(e, \frac{1}{e}) (1, 1) y=x
Şimdi bu bölgenin alanını hesaplayacağız. Bölge, bir üçgen şeklinde olduğundan, alanını bulmak için taban uzunluğunu ve yüksekliği hesaplayacağız:
Taban uzunluğu:e - 1
Yükseklik:\frac{1}{e} - 1
Bu durumda, bölgenin alanı:
A = \frac{1}{2} \cdot \text{Taban uzunluğu} \cdot \text{Yükseklik} = \frac{1}{2} \cdot (e - 1) \cdot \left(\frac{1}{e} - 1 \right)
Şimdi bu bölge üzerine yerleştirilen\sigma(x,y)=xy
\text{Kütle} = \iint_D \sigma(x,y) \, dA = \iint_D xy \, dA
\text{Kütle} = \int_1^e \int_1^\frac{1}{x} xy \, dydx
Yukarıdaki denklemi çözerek kütleyi hesaplayın.
\textbf{Yanıt:}
\text{Bölgenin Alanı: } A = \frac{1}{2} \cdot (e - 1) \cdot \left(\frac{1}{e} - 1 \right)
\text{Levhanın Kütle: } \text{Kütle} = \int_1^e \int_1^\frac{1}{x} xy \, dydx
1.
2.
Noktaları bulduktan sonra, bu üç doğru arasında kalan bölgenin şeklini çizeceğiz.
1.
Bu durumda kesişim noktası
2.
Bu durumda kesişim noktası
Şimdi bu üç noktayı birbirleriyle birleştirerek, verilen bölgenin şeklini çizelim:
-
-
-
Şimdi bu bölgenin alanını hesaplayacağız. Bölge, bir üçgen şeklinde olduğundan, alanını bulmak için taban uzunluğunu ve yüksekliği hesaplayacağız:
Taban uzunluğu:
Yükseklik:
Bu durumda, bölgenin alanı:
Şimdi bu bölge üzerine yerleştirilen
Yukarıdaki denklemi çözerek kütleyi hesaplayın.
\textbf{Yanıt:}
Frequently asked questions (FAQs)
Math Question: What is the limit of (3x^2 + 4x - 1) as x approaches 2?
+
What is the measure of an angle formed by the bisector of a given angle if the adjacent angles measure 45° and 80°?
+
Math question: Find the fourth derivative of f(x) = cos(x^2) at x = π/2.
+
New questions in Mathematics