Determine and classify all critical points of the function: f(x, y) = y^4 − x^3 − 2y^2 + 3x.

1. Calcular as derivadas parciais da função:
\frac{\partial f}{\partial x} = -3x^2 + 3
\frac{\partial f}{\partial y} = 4y^3 - 4y

2. Resolver o sistema para encontrar os pontos críticos:
-3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x = 1 \; \text{ou} \; x = -1
4y^3 - 4y = 0 \Rightarrow y = 0 \; \text{ou} \; y = 1 \; \text{ou} \; y = -1

3. Encontrar todos os pontos críticos:
(1, 0), (1, 1), (1, −1), (−1, 0), (−1, 1), (−1, −1)

4. Calcular a matriz Hessiana:
H(f) = \begin{bmatrix}-6x & 0 \\0 & 12y^2 - 4 \end{bmatrix}

5. Avaliar a Hessiana nos pontos críticos para classificá-los:
(1, 0): \; D = 24 > 0 \; (\text{mas} \; H_{11} < 0 \rightarrow \text{sela})
(1, 1): \; D = 48 > 0 \; (\text{e} \; \lambda_1 < 0, \lambda_2 < 0 \rightarrow \text{máximo relativo})
(1, -1): \; D = 48 > 0 \; (\text{e} \; \lambda_1 < 0, \lambda_2 < 0 \rightarrow \text{máximo relativo})
(-1, 0): \; D = 24 > 0 \; (\text{mas} \; H_{11} < 0 \rightarrow \text{sela})
(-1, 1): \; D = 48 > 0 \; (\text{e} \; \lambda_1 > 0, \lambda_2 > 0 \rightarrow \text{mínimo relativo})
(-1, -1): \; D = 48 > 0 \; (\text{e} \; \lambda_1 > 0, \lambda_2 > 0 \rightarrow \text{mínimo relativo})